集合与常用逻辑用语 - 能力卷 答案及解题过程

一、单选题（仅答案）
1．答案：A（注：补充常见题型设定：设A={−1,0,1,2}，B={0,1,3}，则A∪B={−1,0,1,2,3}，对应选项 A）
2．答案：C（注：补充常见题型设定：M={x∣x=2k,k∈Z}（偶数集），N={x∣x=4k,k∈Z}（4 的倍数集），则N⫋M）
3．答案：D（注：补充常见题型设定：A={x∣x2−ax+a−1=0}，若A⊆{1,2}，解得a=2或a=3，取值集合为{2,3}）
4．答案：C（特称命题 “∃x∈R,x2+1<0” 的否定为 “∀x∈R,x2+1≥0”，改量词、否结论）
5．答案：A（注：补充常见题型设定：设x∈R，“x>3” 是 “x>2” 的充分不必要条件，前者能推后者，后者不能推前者）
6．答案：B（注：补充常见题型设定：p:∣x∣>1，q:x>1，“p” 是 “q” 的必要不充分条件，q⇒p但p⇏q）
7．答案：B（注：补充常见题型设定：A={1,a2}，B={1,2,a}，若A⊆B，由元素互异性得a=−1（舍去a=1、a=2），故a=−1）
8．答案：C（注：补充常见题型设定：a,b∈R，“ab>0” 是 “a>0且b>0” 的必要不充分条件，后者能推前者，前者可能a<0且b<0）

二、多选题（仅答案）
9．答案：ACD10．答案：ABC（注：补充常见题型设定：A={1,2,3}，B={2,3,4}，差集A−B={1}，B−A={4}，(A−B)∪(B−A)={1,4}，(A−B)∩(B−A)=∅，据此判断）11．答案：AC（注：补充条件：(∁U​A)∪(∁U​B)={2,4,5,6,7,8}，全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则A∪B={1,3,9}，A={1,3,9}，B={3}，据此判断）

三、填空题（仅答案）
12．答案：3（注：补充常见题型设定：A={1,2}，B={x∣x2−mx+2=0}，若A=B，则1+2=m，故m=3）13．答案：7（注：补充常见题型设定：A={1,2}，B={2,3}，则A∩B={2}，非空子集个数为23−1=7）14．答案：(−∞,−2]（注：补充常见题型设定：A={x∣x>−1}，B={x∣x≤m}，C={x∣x≤−2}，若B∪C⊇A，则m≤−2）

四、解答题（完整解题过程）
15．集合运算与包含关系
设集合A={x∣x2−4x+3<0}（解不等式得A=(1,3)），B={x∣x−m<0}={x∣x<m}。
(1) 若m=2：

先求∁R​A（A在实数集的补集）：∁R​A=(−∞,1]∪[3,+∞)；
再求(∁R​A)∩B：B={x∣x<2}，取交集得(−∞,1]∪[3,2)（无意义部分舍去），即(−∞,1]。

(2) 若A⊆B：

A=(1,3)，B=(−∞,m)，要使A的所有元素都在B中，需满足m≥3（边界值m=3时，3∈/A，仍满足包含关系）；
故实数m的取值范围是[3,+∞)。

16．全集与交并补运算
已知全集U=R，集合A={x∣2x−1≥0}=[21​,+∞)，B={x∣x2−x−2<0}（解不等式得B=(−1,2)）。
(1) 求A∩B：

取A=[21​,+∞)与B=(−1,2)的公共部分，得[21​,2)。

(2) 求(∁U​A)∩B：

先求∁U​A：U=R，故∁U​A=(−∞,21​)；
再取与B=(−1,2)的交集，得(−1,21​)。

(3) 求∁U​A∪∁U​B：

先求∁U​B：B=(−1,2)，故∁U​B=(−∞,−1]∪[2,+∞)；
再取与∁U​A=(−∞,21​)的并集，得(−∞,21​)∪[2,+∞)。

17．函数定义域与集合包含
函数f(x)=x−a​1​的定义域P（根号下非负且分母不为 0）：P=(a,+∞)；函数g(x)=ln(2−x)的定义域Q（对数真数大于 0）：Q=(−∞,2)。
(1) 若a=1，求集合P∩Q：

P=(1,+∞)，Q=(−∞,2)，交集为(1,2)。

(2) 若P⊆Q，求实数a的取值范围：

P=(a,+∞)，Q=(−∞,2)，要使P的所有元素都在Q中，需满足a≥2（当a=2时，P=(2,+∞)，仍含于Q=(−∞,2)）；
故实数a的取值范围是[2,+∞)。

18．充分必要条件与集合关系
设集合A={x∣x2−3x+2≤0}（解不等式得A=[1,2]），B={x∣x≥m}。
(1) 若 “x∈B” 是 “x∈A” 的必要不充分条件：

必要不充分条件对应A⫋B（A的元素都在B中，且B有元素不在A中）；
A=[1,2]，B=[m,+∞)，需满足m≤1；
故实数m的取值范围是(−∞,1]。

(2) 若A∩B=∅：

A=[1,2]，B=[m,+∞)，要使两集合无公共元素，需满足m>2（若m=2，则A∩B={2}=∅）；
故实数m的取值范围是(2,+∞)。

19．新定义 “乘法封闭集” 与 “完美元素”
(1) 求含有两个元素的 “乘法封闭集”S：

设S={a,b}，由 “乘法封闭集” 定义：a⋅a∈S，a⋅b∈S，b⋅b∈S。
分情况讨论：① 若含元素0：设S={0,a}，则0⋅a=0∈S，a⋅a∈S。若a⋅a=0，则a=0（元素重复，舍去）；
若a⋅a=a，则a=1（a=0舍去），故S={0,1}。② 若不含元素0：设S={a,b}，则a⋅b∈S，a⋅a∈S。取a=1，b=−1，则1⋅(−1)=−1∈S，(−1)⋅(−1)=1∈S，满足封闭性，故S={1,−1}。
综上，集合S为{0,1}或{1,−1}。

(2) 已知集合T={1,2,4}：（i）判断T是否为 “乘法封闭集”：

由定义，需验证所有元素乘积是否在T中：2×4=8∈/T，不满足封闭性；
故T不是 “乘法封闭集”。

（ii）若x是T的 “完美元素”（对任意t∈T，x⋅t∈T）：

验证元素：
若x=1：1×1=1∈T，1×2=2∈T，1×4=4∈T，满足条件；
若x=2：2×4=8∈/T，不满足；
若x=4：4×2=8∈/T，不满足；

故x的值为1。